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Autocohérence : Construire la nature, de manière ascendante

Il y a 50 ans, la culture du surf régnait en maître, l’époque des hippies pointait à l’horizon, et une révolution se préparait… en physique. Lauren Greenspan raconte l’histoire de l’autocohérence, souvent appelée bootstrap en jargon de physicien.

Nous sommes en Californie, dans les années 1960. Le physicien Geoffrey Chew cherche à expliquer le flot de particules découvertes lors d’expériences récentes avec des collisionneurs. Charmeur et doté d’un certain magnétisme, il fait la promotion des idées de ses collaborateurs, les endossant avec une envergure et une ferveur qui balaient la communauté de la physique nucléaire. Au lieu des modèles descendants complexes, qui décrivent à la pièce les propriétés des différentes particules, sa démarche vise à distinguer les constituants de la matière comme étant les seuls permis par des principes de cohérence — qui les font apparaître de manière spontanée par autocohérence.

Geoffrey Chew
Le physicien Geoffrey Chew

Aujourd’hui, l’autocohérence est de retour, car un groupe de jeunes chercheurs de Waterloo et du monde entier adopte la cohérence comme principe sous-jacent de la physique des hautes énergies. Marquées par beaucoup de franchise et d’ouverture, leurs réunions rappellent de manière vivace la démarche ascendante de Geoffrey Chew. Même si leurs outils ont changé, ces chercheurs font appel aux mêmes principes centraux pour résoudre une catégorie de problèmes difficiles. Dans la foulée de ce processus, ils cherchent à découvrir d’où vient la « cohérence ».

Cette évolution n’a pas été linéaire. Les idées scientifiques, comme les objets dans l’espace, ont de l’inertie. Certaines conservent un mouvement constant, et leur trajectoire se déroule sans incident. Mais en matière de notions comme dans la nature, les trajectoires sans entrave sont rares. Depuis qu’elle a été formulée pour la première fois dans les années 1960, la théorie autocohérente des matrices S non perturbatives a été ou non à la mode selon les époques, chaque fois avec une définition légèrement différente correspondant à sa place dans la communauté et l’histoire de la physique. Il semble que son heure soit maintenant venue.

Les limites des diagrammes de Feynman

Le cadre mathématique utilisé pour décrire les particules élémentaires telles que les électrons et les photons, de même que leurs interactions, est ce qu’on appelle la théorie quantique des champs (TQC). Dans les années 1940, le physicien Richard Feynman a conçu des diagrammes décrivant comment des interactions entre particules peuvent se produire.

Lorsque 2 particules entrent en collision dans un accélérateur, elles émettent un certain nombre (« n ») de particules. La probabilité d’une issue donnée (p. ex. l’émission de 2 particules, représentées dans les équations par n=2) est donnée par son amplitude de diffusion. Beaucoup de choses peuvent se produire entre la collision et l’émission de particules. Des particules peuvent s’unir brièvement, puis se séparer. Il se peut que 2 particules se combinent pour donner 2 nouvelles particules. Chaque possibilité peut être représentée par son propre diagramme de Feynman, et tous les processus intermédiaires — toutes les possibilités qui se situent entre la collision et l’émission — peuvent être clairement représentés dans ce que l’on appelle une matrice de diffusion perturbative, ou matrice S (« S » vient de l’anglais scattering, qui signifie diffusion).

diagramme de Feynman
Diagramme de Feynman représentant un rayonnement de gluons

La matrice S constitue une manière compacte de coder l’information-clé d’une interaction entre particules. Elle peut être construite de manière systématique à partir de diagrammes de Feynman lorsque le couplage, c’est-à-dire la force de l’interaction, entre les particules est faible. Dans ce cas, la matrice S est dite « perturbative » — les interactions entre particules peuvent être facilement ordonnées et ajoutées à la matrice S complète sous forme d’additions de plus en plus petites.

Les diagrammes de Feynman servent d’outils visuels ou constituent un registre permettant de suivre les interactions permises d’un modèle en particulier. Mais il faut tout savoir avant de commencer à les dessiner — quelles particules interviennent et comment elles interagissent les unes avec les autres. Il faut ensuite dessiner tous les diagrammes possibles et les classer par ordre d’importance de leur contribution. Il s’agit d’un processus explicitement descendant.

Mais lorsque les particules sont fortement couplées — comme c’est le cas à l’intérieur du noyau atomique —, les détails intermédiaires de l’interaction deviennent beaucoup plus importants, et le registre des diagrammes de Feynman détaillés ne fonctionne plus. Il faut une formulation « non perturbative » de la matrice S.

C’est là qu’intervient l’autocohérence.

Le pouvoir de la simplicité

L’idée d’autocohérence a été mise de l’avant pour la première fois dans les années 1950 comme solution de remplacement des diagrammes de Feynman, afin de démystifier les interactions entre particules subatomiques. Dans les années 1960, elle a été étoffée par Geoffrey Chew, Francis Low et d’autres scientifiques. Cette idée consiste à utiliser des conditions de cohérence pour imposer dès le départ des contraintes sur des grandeurs physiques, de manière à ne laisser qu’une seule matrice S possible pour décrire les interactions fortes entre particules.

Les physiciens avaient enfin découvert une solution non perturbative de remplacement des diagrammes de Feynman. Au lieu de comprendre les interactions entre particules un petit peu à la fois et dans des circonstances limitées, l’autocohérence adopte une vue plus large qui jette un éclairage sur les aspects obscurs des interactions nucléaires.

La puissance de cette théorie réside dans l’information supplémentaire fournie par les contraintes imposées. Au lieu d’essayer d’écrire l’expression la plus générale possible d’une amplitude de diffusion (démarche descendante), ce qui est difficile en régime de couplage fort, Geoffrey Chew et ses collègues imposaient de strictes limites, par exemple le fait que le destin futur d’une particule ne peut pas affecter son passé. Une autre contrainte, celle de l’unitarité, interdit les échanges de particules virtuelles pendant les étapes intermédiaires d’une interaction.

Les équations qui en résultaient pouvaient être interprétées comme des circuits fermés de masses et de couplages de particules formant une matrice S non perturbative. Sur la base de la seule cohérence, des réponses se déduisaient des équations, dans un processus d’autocohérence.

Le plus grand succès de l’autocohérence est survenu en 1961, lorsque l’équipe de Geoffrey Chew l’a utilisée pour prédire la masse d’une particule individuelle, le méson rho, ce qui constituait à l’époque une grande victoire. Par contre, cette méthode s’est avérée fructueuse seulement dans un petit nombre de cas particuliers et a donc été rapidement abandonnée. Les physiciens se sont de plus en plus tournés vers de nouvelles techniques rigoureuses de TQC pour traiter les interactions fortes, et les matrices S ont connu un déclin.

Bifurcation

Dans les années 1970, l’idée d’autocohérence a évolué dans 2 directions différentes. L’autocohérence n’était pas suffisante en elle-même — étant donné l’exigence de cohérence, elle ne permettait pas de trouver la bonne matrice S ou les bonnes fonctions de corrélation — mais elle présentait néanmoins un certain intérêt. La formulation mathématique de la théorie autocohérente des matrices S, distincte des techniques d’autocohérence, a contribué à l’élaboration de la théorie moderne des cordes. Entre-temps, les techniques d’autocohérence, libérées de leurs applications de matrice S, sont devenues une manière puissante d’étudier des fonctions de corrélation individuelles de théories conformes des champs (CFT).

Les CFT sont des théories quantiques des champs hautement symétriques qui décrivent des transitions d’état telles que la transformation de l’eau liquide en glace ou le fait que des matériaux deviennent magnétiques. Contrairement aux TQC, qui décrivent la physique de la vie quotidienne, les CFT n’ont pas d’échelle : elles conservent le même aspect peu importe la distance entre l’observateur et le sujet (dans le langage des physiciens, elles ont la contrainte supplémentaire d’une « symétrie conforme »). Cette contrainte de la symétrie conforme rend les CFT plus faciles à étudier que les TQC. Malgré leur simplicité, les CFT sont encore largement applicables dans tout le domaine de la physique.

Dans les années 1970, les chercheurs italiens Sergio Ferrara, Raoul Gatto et Aurelio Grillo ont tenté d’unifier ces contraintes supplémentaires des CFT et l’ancienne théorie autocohérente des matrices S. En Russie, Alexander Polyakov a fait quelque chose de semblable. Ces travaux combinés ont jeté les bases de l’autocohérence conforme, que l’on appelle en jargon de physicien le bootstrap conforme.

Alexander Polyakov
Alexander Polyakov donne une conférence lors de la réunion du 15e anniversaire des médaillés Dirac (archives photographiques du Centre International Abdus-Salam de physique théorique – Massimo Silvano

L’autocohérence conforme reposait sur la formulation d’une théorie ascendante non perturbative dérivée uniquement à partir de principes premiers. Mais pour un nombre de dimensions supérieur à 2, les équations étaient si complexes que l’autocohérence était encore une fois condamnée à croupir dans les greniers de la physique.

Pourtant, l’attrait d’une démarche ascendante fondée sur des principes de cohérence — si nette et directive par rapport à l’exubérante abondance des diagrammes de Feynman — était trop fort pour que l’idée puisse disparaître complètement.

En 2008, Ricardo Rattazzi, Slava Rychkov, Erik Tonni et Alessandro Vichi ont trouvé un moyen de simplifier le problème. Au lieu de chercher des solutions uniques aux équations d’autocohérence conforme, ils ont conçu une manière d’exclure des solutions candidates, sur la base de la seule cohérence. Ainsi, ils ont pu cerner les valeurs permises de grandeurs physiques telles que la masse d’une particule échangée pendant les étapes intermédiaires d’un processus de diffusion. Il s’agissait de déterminer non pas ce que sont ces valeurs, mais plutôt ce qu’elles ne sont pas.

Depuis lors, en utilisant des méthodes numériques et règles de cohérence nouvelles, les chercheurs en physique des hautes énergies ont déterminé petit à petit ce que la physique permet et ce qu’elle interdit. Ils ont laborieusement défini des « schémas d’exclusion ». De manière systématique, ils ont progressivement réduit les possibilités en les plaçant dans les domaines du « peut-être » et du « non ». Ces schémas constituent possiblement la meilleure indication que l’autocohérence pourrait donner lieu à la description physiquement cohérente de l’univers.

En 2011, l’atelier Back to the Bootstrap (De retour à l’autocohérence) organisé à l’Institut Périmètre a réuni un petit groupe de jeunes physiciens intéressés à explorer ce filon. Les exposés étaient informels, illustrés au tableau noir plutôt que par des diapos, et beaucoup de temps était consacré à la discussion et à la collaboration.

Les méthodes de ces scientifiques se sont améliorées, et les années qui ont suivi ont été émaillées de succès : articles décrivant l’autocohérence de fonctions de corrélation particulières, surpassant les attentes des physiciens en éliminant tout sauf quelques minuscules ilots de solutions cohérentes. (Fait remarquable, les solutions cohérentes restantes semblent correspondre à des théories simples et bien comprises.) L’intérêt pour l’autocohérence a augmenté, et d’autres ateliers ont été organisés. Lors de Back to the Bootstrap IV (De retour à l’autocohérence IV), la résurrection de cette théorie était manifeste.

En 2016, une subvention de la Fondation Simons a permis de réunir des chercheurs qui visaient à exploiter la puissance des techniques d’autocohérence non perturbatives, afin notamment de cartographier l’espace des CFT et TQC physiquement cohérentes.

Comment régler le mécanisme

Dans un article publié en 2016, Miguel Paulos, João Penedones, Jonathan Toledo, Balt van Rees et Pedro Vieira, professeur à l’Institut Périmètre, ont fait valoir que les masses et les couplages qui définissent une TQC ne peuvent pas prendre de valeurs arbitraires, mais qu’ils sont en fait reliés. Ces chercheurs ont trouvé que le couplage d’une interaction entre particules est limité par les masses de ces particules. Avec les méthodes du « non » et du « peut-être » de l’autocohérence conforme, cela a été suffisant pour faire revivre l’ancienne théorie autocohérente des matrices S.

Selon les termes de M. Vieira, les chercheurs ont « sculpté le domaine des matrices S possibles » [traduction]. Leurs efforts ont donné plusieurs schémas d’exclusion (voir la figure 1) qui ont beaucoup rétréci le domaine des théories quantiques des champs bidimensionnels massifs possibles.

Figure 1 – Dans le cas d’une collision de 2 particules de masse m avec échange d’une particule de masse m1 au cours d’une étape intermédiaire, ce schéma d’exclusion montre le couplage maximal obtenu par autocohérence des matrices S. Les régions en bleu et en blanc représentent respectivement les valeurs possibles et interdites. Les points noirs représentent des résultats numériques obtenus à l’aide de techniques de correspondance AdS/CFT et d’autocohérence conforme.

Une telle utilisation de la théorie autocohérente des matrices S est claire : elle donne un résultat net qui peut être formulé sans l’aide d’un ordinateur. Par contre, elle exige aussi de faire une hypothèse éclairée et d’espérer qu’elle soit assez juste pour donner la bonne réponse ou « régler le mécanisme ». Pour appuyer ce résultat nouveau et non testé, Pedro Vieira et ses collègues ont étudié les mêmes théories quantiques des champs bidimensionnels massifs en les reliant à des CFT à l’aide d’une correspondance puissante appelée holographie, ce qui leur a donné accès aux techniques éprouvées de l’autocohérence conforme.

L’holographie, ou correspondance AdS/CFT, est une découverte remarquable réalisée il y a 20 ans par le physicien Juan Maldacena. Elle traduit des problèmes difficiles ou insolubles en d’autres problèmes plus faciles à résoudre. Plus précisément, selon cette correspondance, une TQC dans un espace courbe particulier appelé espace anti-de Sitter (AdS) est physiquement équivalente à une CFT située à la frontière de cet espace. La frontière d’un espace AdS a une propriété particulière : contrairement à notre propre univers, qui est plat et infini, un espace AdS est un univers virtuel, davantage confiné, ce qui en fait un terrain d’expérimentation utile pour les physiciens. En effectuant des calculs difficiles dans un espace AdS, puis en considérant ce qui se passerait si les frontières de l’espace AdS étaient très lointaines, les physiciens peuvent profiter de la simplicité de cet univers virtuel tout en faisant une bonne approximation de notre propre univers.

Pedro Vieira
Pedro Vieira, titulaire de la chaire Clay-Riddell-Paul-Dirac de physique théorique à l’Institut Périmètre

M. Vieira et ses collègues ont trouvé que l’holographie pourrait effectivement transformer le problème d’une théorie quantique des champs massifs en une théorie que l’autocohérence conforme permet de résoudre. Dans une série de 2 articles, l’équipe a mis à l’épreuve l’autocohérence des mêmes TQC de 2 manières totalement différentes. Leurs résultats concordaient incroyablement bien, mettant en lumière un lien profond entre les méthodes des matrices S et de l’autocohérence conforme.

En utilisant les mêmes méthodes d’autocohérence que dans leurs 2 premiers articles, MM. Paulos, Penedones, Toledo, van Rees et Vieira ont étudié plus récemment des matrices S cohérentes pour des TQC quadridimensionnelles, amenant leurs calculs au niveau d’un univers plus semblable au nôtre.

Les calculs en 4 dimensions sont beaucoup plus complexes. En 2 dimensions (une dimension spatiale en plus du temps), la seule information à spécifier pour une collision entre particules est la quantité d’énergie qu’elles possèdent au moment où elles entrent en collision. En 4 dimensions (3 dimensions spatiales en plus du temps), il faut en outre tenir compte des angles entre les particules lorsqu’elles se dispersent. De plus, un espace-temps AdS infiniment grand est impossible sur le plan des calculs en 4 dimensions.

Par le truchement de l’holographie, la théorie de l’autocohérence conforme est la même qu’une TQC dans un espace AdS; elle ne correspond pas directement aux résultats de la théorie autocohérente des matrices S de la même TQC quadridimensionnelle. Malgré le degré extrême de complication, les auteurs obtiennent des résultats qui montrent un bon accord qualitatif entre les 2 méthodes.

M. Vieira, qui s’est récemment mérité le prix Sackler pour ses travaux en TQC, affirme : « La correspondance AdS/CFT pourrait jeter un éclairage sur ces hypothèses très mystérieuses que les gens faisaient auparavant. » [traduction] Ces hypothèses — les contraintes imposées sur la théorie autocohérente des matrices S — représentent à la fois le cadeau et le fléau des démarches ascendantes en physique. Lorsque l’on écrit toutes les lois auxquelles nous pensons que la nature devrait obéir, il nous faut espérer que la nature soit d’accord. L’autocohérence ne s’attarde pas aux raisons pour lesquelles la nature se comporte ainsi.

D’où viennent ces hypothèses? Qu’est-ce qui pourrait manquer? En considérant l’holographie comme la structure sous-jacente de l’autocohérence, Pedro Vieira espère que cela permettra d’aller plus loin et de poser dans l’avenir davantage de questions sur de possibles théories autocohérentes des matrices S. Cela représente une nouvelle manière d’essayer de comprendre notre univers.

Dévoiler les secrets de la nature

Les récents succès de la théorie autocohérente des matrices S découlent de plus de 50 ans de travaux. Les progrès en matière de calculs et de brillantes idées changent notre manière de traiter les composantes à couplage fort de notre monde physique. La manière ascendante d’aborder les TQC omniprésentes dans la physique d’aujourd’hui — de la matière condensée à la physique des particules, en passant par la théorie des cordes — a un potentiel incroyable de dévoiler les secrets des plus minuscules particules aussi bien que la structure à grande échelle de l’univers.

Une possibilité enthousiasmante réside dans l’application de la théorie autocohérente des matrices S à la chromodynamique quantique, théorie des particules dont on estime qu’elle décrit le mieux le monde tel que nous le connaissons. La QCD chromodynamique quantique attendait l’avènement de techniques non perturbatives pour nous révéler ses grands secrets. À de faibles énergies, des objets appelés boules de glu interviennent. Ce sont des boules de particules appelées gluons qui interagissent fortement et qui, selon la chromodynamique quantique, expliquent que les quarks restent ensemble.

Jusqu’à maintenant, nous ne disposions d’aucun outil pour étudier les boules de glu. La théorie autocohérente des matrices S pourrait répondre un jour à cette lacune en permettant d’étudier les collisions de boules de glu et de faire des prédictions vérifiables de manière expérimentale concernant ces objets importants et mystérieux. Ce n’est là qu’un exemple. Jeune, dynamique et en constante évolution, la communauté de l’autocohérence espère exploiter tout ce que cette théorie a à offrir, en favorisant la collaboration entre ses membres ainsi qu’avec les physiciens œuvrant dans d’autres domaines. L’autocohérence comprend un ensemble d’outils aux multiples applications possibles, de sorte que les progrès en matière de calculs constituent l’un des principaux objectifs des chercheurs dans le domaine.

À un niveau plus fondamental, l’autocohérence est également l’ensemble des principes directeurs qui sous-tendent ces outils. Les scientifiques espèrent qu’en s’attaquant à la physique fondamentale sous cet angle, ils pourront poser à l’univers des questions de plus en plus pertinentes, et découvrir un jour pourquoi il se comporte comme il le fait.

« La nature n’avait pas besoin de se comporter conformément aux mathématiques, s’émerveille M. Vieira. C’est sympa qu’elle soit assez bonne pour le faire quand même. » [traduction]

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