Améliorer les mathématiques non numériques

Pedro Vieira utilise des ordinateurs pour faciliter des calculs en physique — plus précisément le genre de calculs qui ne portent pas sur des nombres.

On dirait un paradoxe — des calculs non numériques —, mais ce n’en est pas un. Souvent, les physiciens ont un modèle mathématique et souhaitent mieux comprendre son comportement. En physique, la règle d’or consiste à adopter la méthode analytique (par opposition à numérique) : trouver la solution en utilisant des techniques mathématiques. À titre d’exemple, déduire les lois de Kepler du mouvement des planètes à partir de la loi de gravitation universelle de Newton constitue un exercice analytique : à aucun moment il n’est nécessaire de connaître la masse, la vitesse ou la distance d’une planète. On peut créer, en se servant seulement d’outils mathématiques, un ensemble d’équations qui décrit n’importe quelle orbite.

Mais que se passe-t-il lorsque la mathématique devient si complexe que même tous les tableaux noirs de l’Institut Périmètre ne peuvent la contenir? C’est dans ce domaine que travaille Pedro Vieira.

Il cherche à trouver des solutions exactes, ou analytiques, d’une théorie quantique des champs quadridimensionnelle (4D). Ce défi hante les chercheurs depuis les années 1970, et constitue probablement le problème le plus difficile et le plus ancien dans ce domaine.

M. Vieira était encore doctorant lorsque lui et ses collaborateurs ont trouvé la toute première solution exacte d’une théorie quantique des champs 4D. C’était une percée si extraordinaire, réalisée par un jeune scientifique si prometteur, que l’Institut Périmètre a pris une décision presque inédite : lui offrir un poste de professeur tout de suite après la fin de son doctorat.

C’était il y a 6 ans, et cette décision a certainement rapporté des dividendes. Pedro Vieira a réalisé des progrès considérables vers une compréhension conceptuelle et pratique plus riche des théories quantiques des champs 4D, le langage dans lequel s’écrivent la physique des particules, la physique de la matière condensée et une grande partie de la cosmologie. Ses travaux lui ont valu une bourse de recherche Sloan et la médaille Gribov — les plus grandes distinctions pour de jeunes chercheurs.

À l’Institut Périmètre, M. Vieira a été récemment nommé titulaire de la chaire Clay-Riddell-Paul-Dirac de physique théorique. (Paul Dirac était un jeune physicien remarquable qui a élaboré certaines des premières lois opérationnelles de la mécanique quantique.) Cette nouvelle chaire a été généreusement financée par la Fondation de bienfaisance de la famille Riddell, dont le siège est à Calgary.

Comme titulaire de chaire, Pedro Vieira poursuit ses efforts afin de fournir à de jeunes chercheurs les outils qui leur permettront de faire leur travail d’analyse. Comme de nombreux physiciens, M. Vieira utilise un logiciel appelé Mathematica pour simplifier et organiser ses calculs. Il faut quand même un talent mathématique et une vision physique pour suivre les concepts en augmentant ou en diminuant le nombre de dimensions, ainsi qu’à travers les divers prismes théoriques, mais Mathematica empêche les calculs incroyablement longs de s’emmêler, prévenant des erreurs humaines presque inévitables. Pour certains physiciens théoriciens, l’apprentissage d’un outil comme Mathematica est essentiel et peut changer une carrière, mais cet outil n’est pas beaucoup enseigné. Les jeunes physiciens sont en grande partie laissés à eux-mêmes et doivent l’apprendre sur le tas.

Pedro Vieira a résolu de changer cet état de choses. Alors qu’il était encore étudiant au Portugal, il a fondé l’École d’été Mathematica de physique théorique. Lorsqu’il lui a offert un poste, l’Institut Périmètre a également accepté de commanditer cette école d’été et d’y contribuer. Celle-ci, qui change de lieu selon les années pour étendre sa portée, est revenue à l’Institut Périmètre pour sa 7^e mouture.

Chaque matin, les participants — en général des doctorants en physique — suivent des cours sur des sujets avancés, puis s’attaquent l’après-midi à des problèmes réels en se servant de Mathematica. Wolfram, l’entreprise de logiciels auteure de Mathematica, délègue à l’école d’été un développeur principal qui agit comme instructeur et personne-ressource.

« Cet outil permet de faciliter les calculs analytiques, dit M. Vieira, de les effectuer sans erreur et de ne pas avoir peur des longs calculs. Il donne des pouvoirs de calcul extraordinaires. » [traduction]

Cette année, le thème de l’école d’été était l’intrication. Guifre Vidal, professeur à l’Institut Périmètre, a parlé des réseaux de tenseurs, dont il est pionnier et qui sont maintenant omniprésents en physique de la matière condensée de même qu’en informatique quantique. Juan Maldacena a parlé de l’« intrication dans le ciel », c’est-à-dire de la manière dont les corrélations quantiques influent sur ce que nous voyons dans le rayonnement fossile et constituent une fenêtre sur l’évolution de l’univers. Horacio Casini a parlé de l’entropie d’intrication, sujet de l’heure en théorie des cordes.

Pour Pedro Vieira, la valeur réelle de l’École d’été Mathematica se voit dans les remerciements inclus dans les nouveaux articles rédigés par les participants qui se sont servis de cet outil. Et à mesure que des diplômés obtiennent des postes de chercheur, nous voyons les effets de cette formation se répandre, tout comme la carrière de Pedro Vieira lui-même atteint un nouveau stade de maturité avec sa nomination comme titulaire de la chaire Clay-Riddell-Paul-Dirac.

« Pour l’essentiel, il ne s’agit pas de manipuler des masses de nombres, dit M. Vieira. Il s’agit de faire ce que l’on peut faire avec un crayon et du papier, mais d’une manière beaucoup plus efficace. » [traduction]