De retour à Euclide : à la recherche d’un « nouveau commencement » pour l’espace

Parfois, pour faire des progrès, il faut commencer par le commencement.

Laurent Freidel a décidé de commencer à partir d’Euclide, mathématicien de la Grèce antique surnommé le « père de la géométrie », qui nous a légué notre notion habituelle de l’espace en tant que théâtre vide à 3 dimensions.

Dans l’« espace », les objets peuvent se déplacer vers le haut ou vers le bas, vers la gauche ou vers la droite, vers l’avant ou vers l’arrière. Mais la plupart des gens n’imaginent pas que l’espace soit autre chose qu’une toile de fond. Il est tout simplement là.

C’est cette notion intuitive et tenace que Laurent Freidel, professeur à l’Institut Périmètre, cherche à bousculer.

Avec Robert Leigh, de l’Université de l’Illinois, et Djordje Minic, de l’Institut polytechnique et université d’État de Virginie (Virginia Tech), il a récemment publié un article intitulé Quantum Spaces are Modular (Les espaces quantiques sont modulaires), qui revoit complètement la notion même d’espace euclidien du point de vue de la mécanique quantique.

« La physique a connu de nombreuses révolutions, notamment avec la mécanique quantique, dit-il, mais la notion d’espace est encore celle que l’humanité avait il y a 2 300 ans. » [traduction]

Et cela, même si la compréhension de la nature a été révolutionnée par deux grandes théories au cours du dernier siècle. L’une est la théorie de la relativité générale d’Einstein, qui décrit la gravitation en affirmant que les planètes, les étoiles et les galaxies courbent le tissu même de l’espace-temps. L’autre est la mécanique quantique, qui décrit les particules subatomiques et les forces qui sont au cœur de la nature.

Mais il est excessivement difficile de concilier ces deux théories. Malgré de nombreuses tentatives de formuler une théorie de la gravitation quantique à l’échelle subatomique, « le tableau complet nous échappe encore, dit M. Freidel. Je crois que l’une des raisons pour lesquelles il nous échappe depuis près d’un siècle, c’est que nous n’avons toujours pas abandonné l’idée que l’espace existe indépendamment des objets qu’il contient. » [traduction]

Laurent Friedel, ainsi que ses collaborateurs Robert Leigh et Djordje Minic, réfléchissent à cela et à des idées connexes depuis 5 ans. Il n’est pas facile de revoir la notion d’espace pour tenir compte de la mécanique quantique, car le monde quantique est étrange.

Dans notre monde classique de tous les jours, s’il y a une tasse rouge sur un bureau, tous ceux qui la regardent voient la même tasse. Mais une tasse quantique serait un objet très bizarre. Si l’on s’intéressait à sa couleur, on pourrait voir une tasse rouge ou une tasse bleue. Si l’on s’intéressait à sa forme, on pourrait voir une tasse ovale ou une tasse carrée.

De plus, la tasse du monde classique ne peut changer de couleur que si quelqu’un du milieu local la remplace par une tasse d’une autre couleur. C’est ce que l’on appelle le principe de « localité » ou d’action locale. Mais ce n’est pas le cas pour les tasses quantiques. Le fait de choisir une tasse quantique bleue ici pourrait changer instantanément la couleur d’une autre tasse quantique à l’autre bout de l’univers. Cette non-localité du monde quantique ennuyait énormément Einstein — au point où il appelait cela une « effrayante action à distance ».

Même si les physiciens en sont venus à accepter la non-localité comme caractéristique des particules et forces quantiques, la notion d’espace est encore locale. On conçoit l’espace comme étant tout simplement présent, indépendamment de toute autre chose. C’est l’énigme que Laurent Freidel tente de résoudre avec son concept d’espace modulaire. « Nous avons découvert, dit-il, que nous obtenons au bout du compte une notion de l’espace qui permet la non-localité. » [traduction]

Le terme espace modulaire est dérivé de la notion mathématique de « variables modulaires » introduite en 1969 par Yakir Aharonov, physicien actuellement professeur à l’Université Chapman, en Californie, et titulaire d’une chaire de chercheur invité distingué de l’Institut Périmètre.

Les variables modulaires servent à résoudre les équations non locales de mouvement dans les interactions dynamiques de la mécanique quantique. Laurent Freidel les utilise pour en déduire l’espace modulaire – un type d’espace qui est relationnel et dynamique.

Au lieu de partir d’un espace dans lequel les opérations de mécanique quantique se déroulent, M. Friedel et ses collègues procèdent à l’inverse, construisant l’espace lui-même à partir d’opérations de mécanique quantique.

De la même façon que l’on peut imaginer l’espace comme résultant d’un tressage selon un ensemble de coordonnées (p. ex. le 11^e étage d’un édifice situé à une certaine intersection dans une ville donnée), les physiciens peuvent tresser un ensemble d’opérations de mécanique quantique pour former ce que l’on appelle un « espace des phases ».

Plus précisément, Laurent Freidel tresse les positions et moments possibles de cordes quantiques en interaction. Ces cordes sont des boucles unidimensionnelles d’énergie en vibration. Tout comme les cordes d’un instrument de musique produisent différentes notes en vibrant, les différentes vibrations des cordes de la théorie des cordes produisent les particules et les forces de la nature.

« Traditionnellement, on conçoit l’espace comme une chose rigide dans laquelle les cordes vibrent, dit-il. Nous remplaçons cette hypothèse en disant que l’espace n’existe pas indépendamment des objets. L’espace est défini par la manière dont ces objets interagissent. » [traduction]

Et il poursuit en expliquant que, selon ce tableau, l’espace ressemble davantage à une relation dans laquelle les notions de « proximité » et d’« éloignement » dépendent du contexte.

« Vous pouvez vous sentir proche d’une personne même si elle est à l’autre bout du monde, parce que c’est un membre de votre famille, tandis que vous pouvez avoir un voisin qui est près de vous physiquement, mais éloigné quant à votre relation. » [traduction] Laurent Freidel introduit une souplesse semblable, une sorte de « localité relative » dans la notion d’espace à l’échelle quantique.

Il admet toutefois qu’il reste encore beaucoup de travail à faire.

Tout d’abord, lui et ses collègues doivent lier l’espace modulaire à la notion de temps. Et la route sera longue pour le lier ensuite à la théorie de la gravitation.

Mais M. Freidel dit que ce sont des idées de ce genre qui ramènent les physiciens à la table à dessin : « Si nous voulons franchir la prochaine étape, nous devons changer les fondements. » [traduction] C’est pour cela qu’il veut revoir l’espace euclidien.

Et de conclure : « L’espace est le principal fondement à changer. Je crois que c’est un nouveau commencement. » [traduction]